Analytische Geometrie

Dieser Text beschreibt Analytische Geometrie.

Die analytische Geometrie behandelt geometrische Fragen mit algebraischen Methoden.

Das entscheidende Hilfsmittel der analytischen Geometrie ist ein Koordinatensystem (üblicherweise ein Kartesisches Koordinatensystem), das es erlaubt, einen Punkt der Euklidischen Ebene als ein Zahlenpaar oder einen Punkt des Euklidischen Raums als ein Zahlentripel darzustellen; die Zahlen eines solchen Paars oder Tripels (allgemein: Tupel) heißen die Koordinaten des Punkts.

Geometrische Figuren wie Geraden oder Kreise sind Punktmengen, können also durch Mengen von Koordinatentupeln beschrieben werden. Man findet, dass die Koordinaten bestimmter geometrischer Figuren bestimmten, charakteristischen Gleichungen (Geradengleichung, Kreisgleichung , ...) genügen. Damit können Beziehungen zwischen geometrischen Figuren rechnerisch behandelt werden.

Im Gegensatz zu der mit Lineal- und Zirkelkonstruktionen arbeitenden Euklidischen Geometrie ist die Analytische Geometrie nicht auf räumliche Anschauung angewiesen; nach dem man sich in die Methodik eingearbeitet hat, kann man geometrische Probleme rein rechnerisch lösen. Dies ermöglicht es auch, geometrische Sachverhalte in vier- und höherdimensionalen Räumen zu formulieren und zu überprüfen: durch Hinzunahme weiterer Koordinaten kann man die Methoden der zwei- oder dreidimensionalen Analytischen Geometrie problemlos verallgemeinern.

Koordinatentupel werden heutzutage in aller Regel als Vektoren aufgefasst; viele Rechnungen der Analytischen Geometrie werden durch die Methoden der Vektorrechnung vereinheitlicht und vereinfacht. Obwohl die gesamte analytische Geometrie ohne Vektoren erfunden wurde und natürlich stets noch ohne Vektoren praktiziert werden kann und umgekehrt der Vektorraum als ein abstrakt-algebraisches Konstrukt ohne geometrischen Bezug definiert werden kann, erscheint die Verwendung von Vektoren in Kartesischen Koordinatensystemen so natürlich, dass "Lineare Algebra und Analytische Geometrie" in der Sekundarstufe II und in dem mathematisch-physikalisch-technischen Grundstudium allgemein als ein Kurs unterrichtet werden.